Question

【題目】如圖4，已知AB為半圓O的直徑，BC⊥AB于點B，且BC＝AB，D為半圓上一點，連結BD并延長交半圓O的切線AE于點E.

圖4①　　 　圖4②

(1)如圖①，若CD＝CB，求證：CD為半圓O的切線；

(2)如圖②，若點F在OB上，且FD⊥CD，求的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)1.

【解析】(1)、連接DO，CO，易證△CDO≌△CBO，即可解題；(2)、連接AD，易證△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根據相似三角形對應邊比例相等的性質即可解題．

(1)證明：如答圖①，連結DO，CO，

∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，在△CDO與△CBO中，

∴△CDO≌△CBO，∴∠CDO＝∠CBO＝90°， ∴OD⊥CD，∴CD為半圓O的切線；

(2)如答圖②，連結AD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，

∴∠ADF＋∠BDF＝90°，∠DAB＋∠DBA＝90°，

∵∠BDF＋∠BDC＝90°，∠CBD＋∠DBA＝90°，∴∠ADF＝∠BDC，∠DAB＝∠CBD，

∴△ADF∽△BDC，∴＝， ∵∠DAE＋∠DAB＝90°，∠E＋∠DAE＝90°，

∴∠E＝∠DAB， ∵在△ADE和△BDA中，

∴△ADE∽△BDA，∴＝，∴＝，即＝， ∵AB＝BC，∴＝1.