Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=BC=10，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BC于點D，E，連接DE和DB，過點E作EF⊥AB，垂足為F，交BD于點P．

（1）求證：AD=DE；
（2）若CE=2，求線段CD的長；
（3）在（2）的條件下，求△DPE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AB=BC，

∴D是AC的中點，∠ABD=∠CBD，

∴AD=DE；

（2）解：∵四邊形ABED內接于⊙O，

∴∠CED=∠CAB，

∵∠C=∠C，

∴△CED∽△CAB，

∴ = ，

∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中點，

∴CD= ；

（3）解：延長EF交⊙O于M，

在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，

∴BD=3 ，

∵EM⊥AB，AB是⊙O的直徑，

∴ = ，

∴∠BEP=∠EDB，

∴△BPE∽△BED，

∴ = ，

∴BP= ，

∴DP=BD﹣BP= ，

∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，

∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，

∴S△BDE=12，

∴S△DPE= ．

【解析】（1）AD與DE都是弦，因此可證這兩條弦所對的劣弧相等，進而可證弧所對的弦相等，由已知很容易根據等腰三角形性質和直徑的性質得證；（2）求線段可采用相似法△CED∽△CAB，根據對應邊成比例求出CD；（3）由已知底邊、高都不易求，可轉化為面積比法，即找一個面積易求的三角形，再求二者的比，通常找△DPE的等高三角形，底邊在同一條直線上，它們的面積比等于底邊長的比.