Question

【題目】圖1為長方形紙片ABCD，AD=26，AB=22，直線L、M皆為長方形的對稱軸．今將長方形紙片沿著L對折后，再沿著M對折，并將對折后的紙片左上角剪下直角三角形，形成一個五邊形EFGHI，如圖2．最后將圖2的五邊形展開后形成一個八邊形，如圖2，且八邊形的每一邊長恰好均相等．
（1）若圖2中HI長度為x，請以x分別表示剪下的直角三角形的勾長和股長．
（2）請求出圖3中八邊形的一邊長的數值，并寫出完整的解題過程．

Answer 1

【答案】
（1）

解：延長HI與FE相交于點N，如圖所示．

∵HN= AD=13，NF= AB=11，HI=EF=x，

∴NI=HN﹣HI=13﹣x，NE=NF﹣EF=11﹣x，

∴剪下的直角三角形的勾長為11﹣x，股長為13﹣x

（2）

解：在Rt△ENI中，NI=13﹣x，NE=11﹣x，

∴EI= = ．

∵八邊形的每一邊長恰好均相等，

∴EI=2HI=2x= ，

解得：x=5，或x=﹣29（舍去）．

∴EI=2×5=10．

故八邊形的邊長為10

【解析】（1）延長HI與FE相交于點N，根據折疊的性質找出HN、NF的長，再根據邊與邊之間的關系即可求出NI、NE的長度，由此即可得出剪下的直角三角形的勾長與股長；
（2）結合（1）的結論利用勾股定理得出線段EI的長，再根據正八邊形的性質即可列出關于x的方程，解方程即可得出結論．本題考查了翻折變換中的折疊問題、勾股定理以及解無理方程，解題的關鍵是：（1）根據邊與邊之間的關系計算出線段NI、NE的長；（2）列出關于x的無理方程．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，巧妙的利用勾股定理列出關于x的方程是關鍵．
【考點精析】利用翻折變換（折疊問題）對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．