Question

如圖，半徑分別為4cm和3cm的⊙O₁，⊙O₂相交于A，B兩點，且O₁O₂=6cm，過點A作⊙O₁的弦AC與⊙O₂相切，作⊙O₂的弦AD與⊙O₁相切．
（1）求證：AB²=BC•BD；
（2）兩圓同時沿連心線都以每秒1cm的速度相向移動，幾秒鐘時，兩圓相切.
（3）在（2）的條件下，三點B，C，D能否在同一直線上？若能，求出移動的時間；若不能，說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵CA是⊙O₂的切線，DA是⊙O₁的切線，
∴∠CAB=∠D，∠DAB=∠C，
∴△ABC∽△DBA，
∴AB：BD=BC：AB，
即AB²=BC•BD；

（2）解：當O₁O₂=4-3=1時，兩圓內切，t=（原來的圓心距-現在的圓心距）÷2=（6-1）÷2=2.5秒，
當O₁O₂=7時，兩圓外切，t=（原來的圓心距+現在的圓心距）÷2=（6+7）÷2=6.5秒；
當O₁O₂=4-3=1時，兩圓內切，t=（原來的圓心距+現在的圓心距）÷2=（6+1）÷2=3.5秒；

（3）解：能，分兩種情況：
①當AC是⊙O₁的直徑，AD是⊙O₂的直徑時，∠ABC=∠ABD=90°，
∵∠CAB=∠D，∠DAB=∠C，
∴∠CAD=∠CAB+∠DAB=180°÷2=90°，
∴由勾股定理得CD=10cm，
∵圓心是直徑的中點，
∴O₁O₂=CD÷2=5，t=（6-5）÷2=0.5秒；
②當t=（6+5）÷2=5.5秒時，三點B，C，D在同一直線上．
分析：（1）由弦切角定理知，∠CAB=∠D，∠DAB=∠C，故有△ABC∽△DBA，有AB：BD=BC：AB，即AB²=BC•BD；
（2）O₁O₂=4-3=1時，兩圓內切，t=（6-1）÷2=2.5秒，當O₁O₂=7時，兩圓外切，t=（6+7）÷2=6.5秒；
當O₁O₂=4-3=1時，兩圓內切，t=（原來的圓心距+現在的圓心距）÷2=（6+1）÷2=3.5秒；
（3）若C，B，D在同一直線上，則應有∠ABC=∠ABD=90°，此時AC，AD分別是圓的直徑，∠CAD也是直角；由勾股定理知CD=10，O₁O₂是△ACD的CD邊對的中位線，O₁O₂=5，t=（6-5）÷2=0.5秒，或者t=（6-5+5）÷2=3秒．
點評：本題利用了弦切角定理，兩圓的位置關系，直徑對的圓周角是直角，勾股定理，三角形的中位線的判定和性質求解，注意第2，3小題都有兩種情況．