Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AC＝BC＝3，AB＝6，點E從點B沿著射線BA以每秒3個單位的速度運動，過點E作BC的平行線交∠ACB的外角平分線CF于點F．

（1）求證：四邊形BCFE是平行四邊形；

（2）當點E是邊AB的中點時，連結AF，試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由；

（3）設運動時間為t秒，是否存在t的值，使得以△EFC的其中兩邊為邊所構造的平行四邊形恰好是菱形？若存在，請求出t的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形AECF是矩形，理由見解析；（3）t的值為秒或秒或2秒

【解析】

（1）由等腰三角形的性質得：∠B=∠BAC，再由角平分線定義和三角形外角的性質可解答；
（2）由有一個角是直角的平行四邊形是矩形可解答；
（3）分三種情況：①EF=CF；②CE=CF；②CE=EF；分別列方程可解答．

證明：（1）如圖1，

∵AC＝BC，

∴∠B＝∠BAC，

∵CF平分∠ACH，

∴∠ACF＝∠FCH，

∵∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，

∴∠FCH＝∠B，

∴BE∥CF，

∵EF∥BC，

∴四邊形BCFE是平行四邊形；

（2）四邊形AECF是矩形，

理由是：

∵E是AB的中點，AC＝BC，

∴CE⊥AB，

∴∠AEC＝90°，

由（1）知：四邊形BCFE是平行四邊形，

∴CF＝BE＝AE，

∵AE∥CF，AE＝CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，且∠AEC＝90°，

∴四邊形AECF是矩形；

（3）①以EF和CF兩邊為鄰邊所構造的平行四邊形恰好是菱形時，如圖2，

∴BE＝BC，即3t＝3，

∴t＝；

②以CE和CF兩邊為鄰邊所構造的平行四邊形恰好是菱形時，如圖3，過C作CD⊥AB于D，連接GC，

∵AC＝BC＝3，AB＝6，

∴BD＝AD＝3，

由勾股定理得：CD＝＝＝6，

∵四邊形CEGF是菱形，

∴EF⊥GC，且EF∥BC，

∴GC⊥BC，且∠EGC＝∠ECG，

∴∠EBC＝∠ECB，

∴BE＝CE＝3t，

∵（3t）2＝62+（3t﹣3）2，

∴t＝；

③以CE和EF兩邊為鄰邊所構造的平行四邊形恰好是菱形時，如圖4，CA＝AF＝BC，此時E與A重合，

∴t＝2，

綜上所述，t的值為秒或秒或2秒；