Question

【題目】如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長線交于點P，過B點的切線交OP于點C．

（1）求證：∠CBP＝∠ADB；

（2）若OA＝4，AB＝2，求線段BP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）14

【解析】

（1）連接OB，如圖，根據圓周角定理得到∠ABD＝90°，再根據切線的性質得到∠OBC＝90°，然后利用等量代換進行證明；

（2）證明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的長．

（1）證明：連接OB，如圖，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD＝90°，

∴∠A+∠ADB＝90°，

∵BC為切線，

∴OB⊥BC，

∴∠OBC＝90°，

∴∠OBA+∠CBP＝90°，

而OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∴∠CBP＝∠ADB；

（2）∵OP⊥AD，

∴∠POA＝90°，

∴∠P+∠A＝90°，

∴∠P＝∠D，

∴△AOP∽△ABD，

∴＝，即＝，

∴BP＝14．