Question

（2013•宛城區一模）如圖，矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（6，0）．拋物線y=-

4

9

x²+bx+c經過A，C兩點，與AB邊交于點D．

（Ⅰ）求拋物線的解析式；
（Ⅱ）動點P從C出發，沿線段CB向終點B運動，同時動點Q從A出發，沿線段AC向終點C運動，速度均為每秒1個單位長度，連接PQ，設運動時間為t秒，△CPQ的面積為S．
（1）求S關于t的函數表達式，并求出t為何值時，S取得最大值；
（2）當S最大時，從以下①，②中任選一題作答，若兩題都做只以第①題計分．
①在拋物線y=-

4

9

x²+bx+c的對稱軸l上，是否存在點F，使△FDQ為直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；否則請說明理由．
②在坐標平面內，是否存在點F，使以C，P，Q，F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；否則請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將A、C兩點坐標代入拋物線，根據待定系數法可求拋物線的解析式
（Ⅱ）（1）根據勾股定理可求AC=10，過點Q作QE⊥BC與E點，根據三角函數和三角形的面積公式可求S關于t的函數表達式，再配方可求S的最大值；
（2）①根據直角三角形的判定和性質，垂徑定理可求符合條件的點F的坐標；
②根據平行四邊形的判定和性質可得符合條件的點F的坐標．

解答：解：（Ⅰ）將A、C兩點坐標代入拋物線y=-

4

9

x²+bx+c，得

c=8 -16+6b+c=0

，
解得

b= 4 3 c=8

．
故拋物線的解析式為y=-

4

9

x²+

4

3

x+8．

（Ⅱ）（1）∵OA=8，OC=6，
∴AC=

OA2+OC2

=10，
過點Q作QE⊥BC與E點，
則sin∠ACB=

QE

QC

=

AB

AC

=

3

5

，
∴QE=

3

5

（10-t），
∴S=

1

2

CP•QE=

1

2

t•

3

5

（10-t）=-

3

10

t²+3t． 
∵-

3

10

t²+3t=-

3

10

（t-5）²+

15

2

，
∴當t=5時，S取最大值

15

2

．

①在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，滿足條件的點F共有四個，
坐標分別為F₁（

3

2

，8），F₂（

3

2

，4），F₃（

3

2

，6+

7

2

），F₄（

3

2

，6-

7

2

）．

②在坐標平面內存在點F，使以C、P、Q、F為頂點的四邊形為平行四邊形，滿足條件的點F共有三個，
坐標分別為F₁（3，9），F₂（3，-1），F₃（9，1）．

點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：待定系數法求函數表達式，勾股定理，三角函數和三角形的面積，函數的最值，直角三角形的判定和性質，垂徑定理，平行四邊形的判定和性質，綜合性較強，有一定的難度．