Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點，AF與DE相交于點G，BF與CE相交于點H．

（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；

（2）①若四邊形EHFG是菱形，則平行四邊形ABCD必須滿足條件　 　；

②若四邊形EHFG是矩形，則平行四邊形ABCD必須滿足條件　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①平行四邊形ABCD是矩形；②當平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD．

【解析】

（1）通過證明兩組對邊分別平行，可得四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）①當平行四邊形ABCD是矩形時，通過證明有一組鄰邊相等，可得平行四邊形EHFG是菱形；
②當平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD時，先證明四邊形ADFE是正方形，得出有一個內角等于90°，從而證明菱形EHFG為一個矩形

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE∥CF，AB=CD，

∵E是AB中點，F是CD中點，

∴AE=CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴AF∥CE．

同理可得DE∥BF，

∴四邊形FGEH是平行四邊形；

（2）①當平行四邊形ABCD是矩形時，平行四邊形EHFG是菱形．

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠ABC=∠DCB=90°，

∵E是AB中點，F是CD中點，

∴BE=CF，

在△EBC與△FCB中，

∵ ，

∴△EBC≌△FCB，

∴CE=BF，

∠ECB=∠FBC，

BH=CH，

EH=FH，

平行四邊形EHFG是菱形；

②解：當平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD時，平行四邊形EHFG是矩形．理由如下：

連接EF，如圖所示：

∵E，F分別為AB，CD的中點，且AB=CD，

∴AE=DF，且AE∥DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

∴AD=EF，

又∵AB=2AD，E為AB中點，則AB=2AE，

于是有AE=AD=AB，

這時，EF=AE=AD=DF=AB，∠EAD=∠FDA=90°，

∴四邊形ADFE是正方形，

∴EG=FG=AF，AF⊥DE，∠EGF=90°，

∴此時，平行四邊形EHFG是矩形；

故答案為：當平行四邊形ABCD是矩形，平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD．