Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+bx-7的圖象交x軸于A，B兩點，交y軸于點D，點C為拋物線的頂點，且A，C兩點的橫坐標分別為1和4．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）求二次函數的函數表達式；
（3）在（2）的拋物線上，是否存在點P，使得∠BAP=45°？若存在，求出點P的坐標及此時△ABP的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據圖象，可得A的坐標，再根據二次函數的對稱性，可得B點的坐標；
（2）根據（1）的三個點的坐標，將其代入方程，并求解可得解析式；
（3）假設存在并設出其坐標，分P在x軸的上方、下方兩種情況討論，可得答案．

解答：解：（1）因為A，C兩點的橫坐標分別為1，4，
所以點A（1，0）．（1分）
又點A，B關于對稱軸x=4對稱，點B（7，0）．（2分）

（2）因為二次函數y=ax²+bx-7的圖象經過點A（1，0），B（7，0）．
所以

a+b-7=0 49a+7b-7=0

（4分）
解得：

a=-1 b=8

（6分）．
所以二次函數的表達式為y=-x²+8x-7．（7分）

（3）假設拋物線上存在點P（x，y），使得∠BAP=45°（8分）
①當點P在x軸上方時有x-1=y，
∴x-1=-x²+8x-7，
即x²-7x+6=0．
解得：x=6或x=1（不合題意舍去）
∴y=-6²+8×6-7=5．
∴點P為（6，5）．（9分）
此時，S_△ABP=

1

2

×（7-1）×5=

30

2

=15（10分）．
②當點P在x軸的下方時，有x-1=-y．
∴x-1=x²-8x+7，
解得：x=8或x=1（不合題意舍去）
∴y=-8²+8×8-7=-7．
∴點P為（8，-7）．（11分）
此時，S_△ABP=

1

2

×（7-1）×7=

42

2

=21（12分）．

點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．