Question

閱讀材料：在直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半．如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中，A，B兩點坐標分別為（3，0）和（0， ）．動點P從A點開始沿折線AO﹣OB﹣BA運動，點P在AO，OB，BA上運動的面四民﹒數學興趣小組對捐款情況進行了抽樣調查，速度分別為1， ，2（單位長度/秒）．一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以 （單位長度/秒）的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F兩點﹒設動點P與動直線l同時出發，運動時間為t秒，當點P沿折線AO﹣OB﹣BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．
請解答下列問題：
（1）過A，B兩點的直線解析式是_____________；
（2）當t﹦4時，點P的坐標為________________　；當t=____________　 　，點P與點E重合；
（3）作點P關于直線EF的對稱點P′．在運動過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？

Answer 1

解：（1）設直線AB的解析式是y=ax+b（a≠0）．則
，
解得，
故直線AB的解析式為：y=﹣x+3；
（2）∵A，B兩點坐標分別為（3，0）和（0，），
∴AO=3，OB=3 ， ∴tAO=3÷1=3（秒），tOB=4﹣3=1（秒），
∴P（0，）；根據題意知，點P與點E在OB上重合，
則=+，即=3+，
解得，OE=，
∴t=÷=，即t=；
 （3）①當點P在線段AO上時，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°，
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG，
又∵OE=FG= t，∠A=60°，
∴AG=FG tan60°=t；
而AP=t，
∴OP=3﹣t，PG=AP﹣AG= t，由3﹣t= t，得 t=
當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；當點P在線段BA上時，過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2）
∵OE= t，
∴BE=3﹣t，
∴EF=BEtan60°=3﹣
∴MP=EH=EF=，
又∵BP=2（t﹣6）在Rt△BMP中，BPcos60°=MP即2（t﹣6）=，解得t=．