Question

閱讀材料：
在直角坐標系中，已知平面內A（x₁，y₂）、B（x₁，y₂）兩點坐標，則A、B兩點之間的距離等于

(x2-x2)2(y2-y1)2

．
例：說明代數式

x2+1

+

(x-3)2+4

的幾何意義，并求它的最小值．
解：

x2+1

+

(x-3)2+4

=

(x-0)2+(0-1)2

+

(x-3)2+(0-2)2

，如圖，建立平面直角坐標系，點P（x，0）是x軸上一點，則

(x-0)2+(0-1)2

可以看成點P與點A（0，1）的距離，

(x-3)2+(0-2)2

可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長度．為此，構造直角三角形A′CB，因為A′C=

3

，CB=

3

，所以A′B=

3

2

，即原式的最小值為

3

2

．
根據以上閱讀材料，解答下列問題：
（1）完成上述填空．
（2）代數式

(x-i)2+1

+

(x-2)2+9

的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B

（2，3）

的距離之和．（填寫點B的坐標）
（3）求代數式

x2+49

+

x2-12x+37

的最小值．（畫圖計算）

Answer 1

分析：（1）根據B、A′的坐標求出A′C=3，BC=3，由勾股定理求出A′B即可．
（2）

(x-i)2+1

+

(x-2)2+9

=

(x-1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-3)2

，即可得出答案．
（3）求出

x2+49

+

x2-12x+37

=

(x-0)2+(0-7)2

+

(x-6)2+(0-1)2

，得出所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，作A關于x軸的對稱點為A′，求出A′B即可．

解答：解：（1）∵B（3，2），A′（0，-1），
∴A′C=3，BC=2-（-1）=3，
由勾股定理得：A′B=

32+32

=3

2

，
即原式的最小值是3

2

，
故答案為：3，3，3

2

，3

2

．

（2）∵

(x-i)2+1

+

(x-2)2+9

=

(x-1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-3)2

，
∴代數式

(x-i)2+1

+

(x-2)2+9

的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B（2，3）的距離之和，
故答案為：（2，3）．

（3）

x2+49

+

x2-12x+37

=

x2+72

+

(x-6)2+12

=

(x-0)2+(0-7)2

+

(x-6)2+(0-1)2

，
即所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，
如圖所示，
∵設A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的距離最短，
∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長度，
∵A（0，7），B（6，1），
∴A′，-7），
∴A′C=6，BC=8，
由勾股定理得：A′B=

62+82

=10，
即代數式

x2+49

+

x2-12x+37

的最小值是10．

點評：本題考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應用，主要考查學生的閱讀理解能力和計算能力．．