Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝x2﹣2x+m的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，直線AC交二次函數圖象的對稱軸于點D，若點C為AD的中點．

（1）求m的值；

（2）若二次函數圖象上有一點Q，使得tan∠ABQ＝3，求點Q的坐標；

（3）對于（2）中的Q點，在二次函數圖象上是否存在點P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=﹣3；（2）Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）函數的對稱軸為：x=1，點C為AD的中點，則點A（-1，0），即可求解；
（2）tan∠ABQ=3，點B（3，0），則AQ所在的直線為：y=±3x（x-3），即可求解；
（3）分點Q（2，-3）、點Q（-4，21）兩種情況，分別求解即可．

（1）設對稱軸交x軸于點E，直線AC交拋物線對稱軸于點D，

函數的對稱軸為：x＝1，點C為AD的中點，則點A（﹣1，0），

將點A的坐標代入拋物線表達式并解得：m＝﹣3，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）tan∠ABQ＝3，點B（3，0），

則AQ所在的直線為：y＝±3（x﹣3）…②，

聯立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，

故點Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；

（3）不存在，理由：

△QBP∽△COA，則∠QBP＝90°

①當點Q（2，﹣3）時，

則BP的表達式為：y＝﹣（x﹣3）…③，

聯立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣，故點P（﹣），

此時BP：PQ≠OA：AC，故點P不存在；

②當點Q（﹣4，21）時，

同理可得：點P（﹣），

此時BP：PQ≠OA：OB，故點P不存在；

綜上，點P不存在．