Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC的垂直平分線DH上一點，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延長線于E，且BF=CE．

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）40°．

【解析】

試題（1）連接BD，根據線段垂直平分線的性質可得BD=CD，再利用“HL”證明Rt△BDF和Rt△CDE全等，可得DE=DF，然后根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上即可得到結論；

（2）根據全等三角形對應角相等可得∠CDE=∠BDF，求出∠BDC=∠EDF，再根據四邊形的內角和定理求出∠EDF，然后根據等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．

試題解析：（1）如圖，連接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∵BD=CD，BF=CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴DE=DF，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；

（2）∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=40°．