Question

【題目】閱讀下列材料，并用相關的思想方法解決問題．
計算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．
令++=t，則
原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t
=t+﹣t2﹣t﹣t+t2
=
問題：
（1）計算
（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；
（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設++…+=t，

則原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t

=t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t

=；

（2）

解：設x2+5x+1=t，

則原方程化為：t（t+6）=7，

t2+6t﹣7=0，

解得：t=﹣7或1，

當t=1時，x2+5x+1=1，

x2+5x=0，

x（x+5）=0，

x=0，x+5=0，

x1=0，x2=﹣5；

當t=﹣7時，x2+5x+1=﹣7，

x2+5x+8=0，

b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，

此時方程無解；

即原方程的解為：x1=0，x2=﹣5．

【解析】（1）設++…+=t，則原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t，進行計算即可；
（2）設x2+5x+1=t，則原方程化為：t（t+6）=7，求出t的值，再解一元二次方程即可．
【考點精析】利用換元法和有理數的四則混合運算對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知換元法是中學數學中的一個重要的數學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法；在沒有括號的不同級運算中，先算乘方再算乘除，最后算加減．