Question

【題目】如圖，∠OAB=45°，點A的坐標是（4，0），AB= ，連結OB．

（1）直接寫出點B的坐標．
（2）動點P從點O出發，沿折線O﹣B﹣A方向向終點A勻速運動，另一動點Q從點O出發，沿OA方向勻速運動，若點P的運動速度為 個單位/秒，點Q的運動速度是1個單位/秒，P、Q兩點同時出發，設運動時間為t秒，請求出使△OPQ的面積等于1.5時t的值．
（3）動點P仍按（2）中的方向和速度運動，但Q點從A點向O點運動，速度為1個單位/秒，P、Q與△OAB中的任意一個頂點形成直角三角形時，求此時t（t≠0）的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過B作BC⊥OA于C，

∵∠OAB=45°，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∵AB=2 ，

∴BC=AC=2，

∵A（4，0），

∴OA=4，

∴OC=OA﹣AC=4﹣2=2，

∴B（2，2）

（2）

解：過P作PD⊥OA于D，

如圖1，

由（1）得：OC=BC=2，∠BCO=90°，

∴∠AOB=45°，

如圖2，

由題意得：OP= t，OQ=t，

∵△POD是等腰直角三角形，

∴PD= =t，

∵S△OPQ=1.5，

∴ OQPD=1.5，

t2=1.5，

t= ，

答：當t= 時，△OPQ的面積等于1.5

（3）

解：分四種情況：

①當0＜t≤2時，∠OPQ=90°，如圖3，

由題意得：OP= t，AQ=t，OQ=4﹣t，

則cos45°= ，

= ，

解得：t= ；

②當0＜t≤2時，∠OQP=90°，如圖4，

由題意得：OP= t，AQ=t，OQ=4﹣t，

則cos45°= ，

= ，

解得：t=2；

③當2＜t＜4時，AQ=t，AP=4 ﹣ t，

當∠APQ=90°時，如圖5，

cos45°= ，

= ，

解得：t= ；

④如圖6，點Q與O重合，點P與A重合，

∠PBQ=90°，此時t=4；

綜上所述，P、Q與△OAB中的任意一個頂點形成直角三角形時，t的值為 或2或 或4．

【解析】（1）如圖1，過B作BC⊥OA于C，根據∠OAB=45°，可知△ACB為等腰直角三角形，求出BC和AC的長為2，再由點A的坐標得出OA=4，所以得出B（2，2）；（2）如圖2，作△OPQ的高線PD，根據速度和時間表示動點的路程：OP= t，OQ=t，根據圖1求出∠AOB=45°，所以△POD是等腰直角三角形，表示出高線PD的長，代入面積公式列等量關系式可求得結論；（3）分四種情況進行討論：①當0＜t≤2時，∠OPQ=90°，如圖3，②當0＜t≤2時，∠OQP=90°，如圖4，③當2＜t＜4時，∠APQ=90°，如圖5，④點Q與O重合，點P與A重合，如圖6；分別根據45°的余弦列式求出．
【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°即可以解答此題．