Question

【題目】如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)將沿軸折疊，使點(diǎn)落在軸的點(diǎn)上，設(shè)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)不重合，連接．以點(diǎn)為端點(diǎn)作射線交線段于點(diǎn)使．

求點(diǎn)的坐標(biāo)；

當(dāng)時(shí)，求直線的解析式；

是否存在點(diǎn)使為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，．

【解析】

（1）先利用待定系數(shù)法求得函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求得點(diǎn)B坐標(biāo)，再利用對(duì)稱性求得C的坐標(biāo)即可；

（2）先利用軸對(duì)稱性及三角形的外角性質(zhì)證得，再根據(jù)勾股定理求得AC長(zhǎng)，利用“ASA”可證得，進(jìn)而可求得BM，AM的長(zhǎng)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由此可得，利用相似三角形的性質(zhì)可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法即可求得直線CM的函數(shù)關(guān)系式；

（3）分類討論，當(dāng)時(shí)，則有，利用相似三角形的性質(zhì)可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，則，進(jìn)而可證得，再根據(jù)過點(diǎn)只有一條直線與垂直，即可求得此時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

解：（1）∵直線與軸相交于點(diǎn)

∴

直線的解析式為

令則

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，

（2）∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱

在△PAC與△MPB中，

（ASA）

過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．

，

點(diǎn)的坐標(biāo)是

又點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)直線CM為，

則，

解得

直線的解析式為；

（3）存在，，

由題意，得

當(dāng)時(shí)，則有

，即

，即

當(dāng)時(shí)，則

過點(diǎn)只有一條直線與垂直，

此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，即符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為

使為直角三角形的點(diǎn)有兩個(gè)，，