Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD于點E，DA平分∠BDE．

（1）求證：AE是⊙O的切線；

（2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】

【1】 證明：邊結OA，

∵OA=OD，∴∠1=∠2．

∵DA平分，∴∠2=∠3．

∴∠1=∠3．∴OA∥DE．

∴∠OAE=∠4，[

∵，∴∠4=90°．∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．

又∵點A在⊙O上，∴AE是⊙O的切線.

【2】 ∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD=90°．

∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5．

又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．∴

∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．

在Rt△BAD中，根據勾股定理，得BD=．

∴⊙O半徑為．

【解析】

試題（1）連接OA，利用已知首先得出OA∥DE，進而證明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切線；

（2）通過證明△BAD∽△AED，再利用對應邊成比例關系從而求出⊙O半徑的長．

試題解析：（1）連接OA，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∵DA平分∠BDE，

∴∠2=∠3．

∴∠1=∠3．∴OA∥DE．

∴∠OAE=∠4，

∵AE⊥CD，∴∠4=90°．

∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．

又∵點A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切線．

（2）∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°．

∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5．

又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．

∴，

∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．

在Rt△BAD中，根據勾股定理，

得BD=．

∴⊙O半徑為．