Question

【題目】已知：如圖，在菱形ABCD中，F為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作ME⊥CD于點E，∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的長；
（2）求證：AM=DF+ME．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴∠1=∠ACD，

∵∠1=∠2，

∴∠ACD=∠2，

∴MC=MD，

∵ME⊥CD，

∴CD=2CE，

∵CE=1，

∴CD=2，

∴BC=CD=2；

（2）證明：如圖，∵F為邊BC的中點，

∴BF=CF= BC，

∴CF=CE，

在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，

∴∠ACB=∠ACD，

在△CEM和△CFM中，

∵ ，

∴△CEM≌△CFM（SAS），

∴ME=MF，

延長AB交DF的延長線于點G，

∵AB∥CD，

∴∠G=∠2，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠G，

∴AM=MG，

在△CDF和△BGF中，

∵ ，

∴△CDF≌△BGF（AAS），

∴GF=DF，

由圖形可知，GM=GF+MF，

∴AM=DF+ME．

【解析】（1）根據菱形和等腰三角形的性質，求出BC=CD；（2）根據菱形的性質得到△CEM≌△CFM、△CDF≌△BGF，根據全等三角形的對應邊相等得到ME=MF、GF=DF，由圖形可知，得到AM=DF+ME．
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質的相關知識點，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題．