Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C的坐標為（3，0），連接BC．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）點P在線段BC的延長線上，連接AP，作AP的垂直平分線，垂足為點D，并與y軸交于點E，分別連接EA、EP．
①若CP=6，直接寫出∠AEP的度數；
②若點P在線段BC的延長線上運動（P不與點C重合），∠AEP的度數是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出∠AEP的度數；
（3）在（2）的條件下，若點P從C點出發在BC的延長線上勻速運動，速度為每秒1個單位長度．EC與AP交于點F，設△AEF的面積為S₁，△CFP的面積為S₂，y=S₁-S₂，運動時間為t（t＞0）秒時，求y關于t的函數關系式．

Answer 1

解：（1）由一次函數y=x+3，
則A（-3，0），B（0，3），C（3，0）．
再由兩點間距離公式可得出：AB=BC=AC=6，
∴△ABC為等邊三角形．

（2）①，連接CD，由題意得，C、D、E三點共線，
∵E點在y軸上，且A、C關于y軸對稱，
∴E點在線段AC的垂直平分線上，
即EA=EC；
∵E點在線段AP的垂直平分線上，則EA=EP，
∴EA=EP=EC，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；
∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，
∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，
∴∠AEP=120°．

②連接EC，
∵E點在y軸上，且A、C關于y軸對稱，
∴E點在線段AC的垂直平分線上，
即EA=EC；
∵E點在線段AP的垂直平分線上，則EA=EP，
∴EA=EP=EC，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；
∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，
∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，
故∠AEP=360°-240°=120°，
∴∠AEP的度數不會發生變化，仍為120°．

（3）如圖，過E作EM⊥BP于M、過A作AN⊥BP于N；
由（2）知：△CEP是等腰三角形，則有：
CM=MP=CP=；
∴BM=BC+CM=6+；
在Rt△BEM中，∠MBE=30°，則有：BE=BM=（6+）；
∴OE=BE-OB=（6+）-3=+t；
故S_△AEC=AC•OE=×6×（+t）=3+t，
S_△ACP=PC•AN=×t×3=t；
∵S_△AEC=S₁+S，S_△ACP=S+S₂，
∴S_△AEC-S_△ACP=S₁+S-（S2+S）=S₁-S₂
=3+t-t=3-t，
即y=3-t．
分析：（1）由一次函數y=x+3求出A、B兩點，再根據兩點間坐標公式求得AB=BC=AC，則可證△ABC為等邊三角形．
（2）①因為△ABC為等邊三角形，CP=AC，DE是AP的中垂線，故C、D、E三點共線，進而求出四邊形AEPC是菱形，可以求解；
②連接EC，由于E在y軸上，即E在AC的垂直平分線上，所以EA=EC，故∠ECA=∠EAC，而E在AP的垂直平分線上，同理可求得EA=EP，即EC=EP=EA，那么∠ECP=∠EPC；由（1）知∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，那么∠EAC、∠EPC的度數和也是120°，由此可求得∠AEP=360°-240°=120°，即∠AEP的度數不變．
（3）由于S₁、S₂的面積無法直接求出，因此可求（S₁-S₂）這個整體的值，將其適當變形可得（S₁+S_△ACF）-（S₂+S_△ACF），即S₁-S₂的值可由△ACE和△ACP的面積差求得，過E作EM⊥PC于M，由（2）知△ECP是等腰三角形，則CM=PM=，在Rt△BEM中，∠EBM=30°，BM=6+，通過解直角三角形即可求得BE的長，從而可得到OE的長，到此，可根據三角形的面積公式表示出△ACE和△ACP的面積，從而求得S₁-S₂的表達式，由此得解．
點評：此題主要考查了一次函數與三角形的相關知識，涉及到：等邊三角形、等腰三角形的判定和性質，三角形面積的求法，解直角三角形等重要知識點，此題的難點在于第（3）問，由于S₁、S₂的面積無法直接求出，能夠用△AEC、△ACP的面積差來表示S₁-S₂的值是解答此題的關鍵．