Question

【題目】如圖，在中，，，以為一邊向上作等邊三角形，點在垂直平分線上，且，連接，，.

（1）判斷的形狀，并說明理由；

（2）求證：；

（3）填空：

①若，相交于點，則的度數為______.

②在射線上有一動點，若為等腰三角形，則的度數為______.

Answer 1

【答案】（1）△CBE是等邊三角形 理由見解析；（2）見解析；（3）① 60，② 15或60或105

【解析】

（1）由垂直平分線的性質可得EC=EB，再算出∠CBE=60°，可判定；

（2）通過證明△ABE≌△DBC可得；

（3）①由（2）中全等可得∠EAB=∠CDB，再根據三角形內角和可得∠AFD的度數；

②分PB=PB，BP=BC，CP=CB三種情況討論，通過等腰三角形的性質，借助∠ABC的度數計算∠ACP的度數.

解：（1）△CBE是等邊三角形 理由如下：

∵點E在BC垂直平分線上

∴EC＝EB

∵EB⊥AB

∴∠ABE＝90

∵∠ABC＝30

∴∠CBE＝60

∴△CBE是等邊三角形

（2）∵△ABD是等邊三角形

∴AB＝DB，∠ABD＝60

∵∠ABC＝30

∴∠DBC＝90

∵EB⊥AB

∴∠ABE＝90

∴∠ABE＝∠DBC

由（1）可知：△CBE是等邊三角形

∴EB＝CB

∴△ABE≌△DBC（SAS）

∴AE＝DC

（3）①設AB與CD交于點G，

∵△ABE≌△DBC

∴∠EAB=∠CDB，

又∵∠AGC=∠BGD

∴∠AFD=∠ABD=60°.

② ∵△BCP為等腰三角形，如圖，

當BC=BP時，

∠ABC=∠BCP+∠BPC=30°，

∴∠BCP=15°，

∴∠ACP=90°+15°=105°；

當PC=PB時，

∵∠ABC=30°，

∴∠PCB=30°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACP=60°；

當BP=BC時，

∵∠ABC=30°，

∴∠PCB=∠CPB=（180°-30°）=75°，

∴∠ACP=90°-75°=15°.

綜上：∠ACP的度數為15或60或105.