Question

【題目】如圖，點D是線段AB的中點，點C是線段AB的垂直平分線上的任意一點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F．

（1）求證：CE=CF；

（2）點C運動到什么位置時，四邊形CEDF成為正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）CD=AB時，四邊形CEDF為正方形，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）由CD垂直平分線AB，可得AC=CB，∴∠ACD=∠BCD，再加∠EDC=∠FDC=90°，可證得△ACD≌△BCD（ASA），∴CE=CF；

（2）因為有三個角是直角，且鄰邊相等的四邊形是正方形．所以當CD=AB時，四邊形CEDF為正方形．

（1）證明：∵CD垂直平分線AB，

∴AC=CB．

∴△ABC是等腰三角形，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD=∠BCD．

∵DE⊥AC，DF⊥BC，

∴∠DEC=∠DFC=90°

∴∠EDC=∠FDC，

在△DEC與△DFC中，

，

∴△DEC≌△DFC（ASA），

∴CE=CF．

（2）解：當CD=AB時，四邊形CEDF為正方形．理由如下：

∵CD⊥AB，

∴∠CDB=∠CDA=90°，

∵CD=AB，

∴CD=BD=AD，

∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，

∴∠ACB=90°，

∴四邊形ECFD是矩形，

∵CE=CF，

∴四邊形ECFD是正方形．

考點: 1.線段垂直平分線的性質；2.正方形的判定．