Question

【題目】某市在黨中央實施“精準扶貧”政策的號召下，大力開展科技扶貧工作，幫助農民組建農副產品銷售公司，某農副產品的年產量不超過100萬件，該產品的生產費用y（萬元）與年產量x（萬件）之間的函數圖象是頂點為原點的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數圖象是如圖②所示的一條線段，生產出的產品都能在當年銷售完，達到產銷平衡，所獲毛利潤為w萬元．（毛利潤=銷售額﹣生產費用）

（1）請直接寫出y與x以及z與x之間的函數關系式；

（2）求w與x之間的函數關系式；并求年產量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤是多少？

（3）由于受資金的影響，今年投入生產的費用不會超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤？

Answer 1

【答案】（1）y=x2，z=﹣x+30；（2）W==﹣x2+30x，年產量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元；（3）今年最多可獲得1080萬元的毛利潤.

【解析】

（1）結合圖象，利用待定系數法求出y與x以及z與x之間的函數關系式即可；（2）根據毛利潤=銷售額﹣生產費用可得w與x之間的函數關系式，再利用二次函數的性質求解即可；（3）令y=0，解方程求得x的值，根據圖象結合y的取值范圍，求得x的取值范圍，再由二次函數的性質即可解答.

（1）圖①可得函數經過點（100，1000），

設拋物線的解析式為y=ax2（a≠0），

將點（100，1000）代入得：1000=10000a，

解得：a=，

故y與x之間的關系式為y=x2．

圖②可得：函數經過點（0，30）、（100，20），

設z=kx+b，則，

解得：，

故z與x之間的關系式為z=﹣x+30；

（2）W=zx﹣y=﹣x2+30x﹣x2

=﹣x2+30x

=﹣（x2﹣150x）

=﹣（x﹣75）2+1125，

∵﹣＜0，

∴當x=75時，W有最大值1125，

∴年產量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元；

（3）令y=360，得x2=360，

解得：x=±60（負值舍去），

由圖象可知，當0＜y≤360時，0＜x≤60，

由W=﹣（x﹣75）2+1125的性質可知，

當0＜x≤60時，W隨x的增大而增大，

故當x=60時，W有最大值1080，

答：今年最多可獲得毛利潤1080萬元．