Question

【題目】（感知）如圖①在等邊△ABC和等邊△ADE中，連接BD，CE，易證：△ABD≌△ACE；

（探究）如圖②△ABC與△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，求證：△ABD∽△ACE；

（應用）如圖③，點A的坐標為（0，6），AB=BO，∠ABO=120°，點C在x軸上運動，在坐標平面內作點D，使AD=CD，∠ADC=120°，連結OD，則OD的最小值為 ．

Answer 1

【答案】探究：見解析；應用：.

【解析】

探究：由△DAE∽△BAC，推出，可得，由此即可解決問題；

應用：當點D在AC的下方時，先判定△ABO∽△ADC，得出，再根據∠BAD＝∠OAC，得出△ACO∽△ADB，進而得到∠ABD＝∠AOC＝90°，得到當OD⊥BE時，OD最小，最后過O作OF⊥BD于F，根據∠OBF＝30°，求得OF＝OB＝，即OD最小值為；當點D在AC的上方時，作B關于y軸的對稱點B'，則同理可得OD最小值為．

解：探究：如圖②中，

∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，

∴△DAE∽△BAC，∠DAB＝∠EAC，

∴，

∴，

∴△ABD∽△ACE；

應用：①當點D在AC的下方時，如圖③1中，

作直線BD，由∠DAC＝∠DCA＝∠BAO＝∠BOA＝30°，可得△ABO∽△ADC，

∴，即，

又∵∠BAD＝∠OAC，

∴△ACO∽△ADB，

∴∠ABD＝∠AOC＝90°，

∵當OD⊥BE時，OD最小，

過O作OF⊥BD于F，則△BOF為直角三角形，

∵A點的坐標是（0，6），AB＝BO，∠ABO＝120°，

∴易得OB＝2，

∵∠ABO＝120°，∠ABD＝90°，

∴∠OBF＝30°，

∴OF＝OB＝，

即OD最小值為；

當點D在AC的上方時，如圖③2中，

作B關于y軸的對稱點B'，作直線DB'，則同理可得：△ACO∽△ADB'，

∴∠AB'D＝∠AOC＝90°，

∴當OD⊥B'E時，OD最小，

過O作OF'⊥B'D于F'，則△B'OF'為直角三角形，

∵A點的坐標是（0，6），AB'＝B'O，∠AB'O＝120°，

∴易得OB'＝2，

∵∠AB'O＝120°，∠AB'D＝90°，

∴∠OB'F'＝30°，

∴OF'＝OB'＝，

即OD最小值為．

故答案為：．