Question

【題目】如圖，在□ABCD中，∠BAD的平分線交CD于點E，連接BE并延長交AD延長線于點F，若AB＝AF．

（1）求證：點D是AF的中點；

（2）若∠F＝60°，CD＝6，求□ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）SABCD＝9．

【解析】

（1）先根據平行四邊形的性質得出BC＝AD，由等腰三角形三線合一的性質得出BE＝EF，利用ASA證明△BCE≌△FDE，得到BC＝DF．等量代換即可證明AD＝DF，即點D是AF的中點；

（2）根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出△ABF是等邊三角形，再證明SABCD＝S△ABF．然后由S△ABF＝BFAE列式計算即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC＝AD，CD＝AB，BC∥AD，

∴∠CBE＝∠F．

∵AB＝AF，AE平分∠BAF，

∴BE＝EF，AE⊥BF．

在△BCE與△FDE中，

，

∴△BCE≌△FDE（ASA），

∴BC＝DF．

∵BC＝AD，

∴AD＝DF，

即點D是AF的中點；

（2）解：∵∠F＝60°，AB＝AF，

∴△ABF是等邊三角形．

由（1）可知△BCE≌△FDE，

∴SABCD＝S△ABF．

∵AF＝BF＝AB＝CD＝6，∠F＝60°，∠AEF＝90°，

∴AE＝AFsin∠F＝6×＝3，

∴S△ABF＝BFAE＝×6×3＝9，

∴SABCD＝9．