Question

【題目】如圖，等腰直角三角形中，，，點坐標為，點坐標為，且 ，滿足．

(1)寫出、兩點坐標；

(2)求點坐標；

(3)如圖，，為上一點，且，請寫出線段的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為，點C的坐標為；（2）點B的坐標為（2,4）；（3）MN= CN＋AM，理由見解析

【解析】

（1）根據絕對值的非負性和平方的非負性即可求出a、b的值，從而求出、兩點坐標；

（2）過點A作AE∥y軸，過點B作BE⊥AE，作BD⊥x軸，設點B的坐標為（x，y），分別用x、y表示出CD、BE、AE的長，然后利用AAS證出△EBA≌△DBC，可得BE=BD，AE=CD，列出方程即可求出點B的坐標；

（3）過點B作BF⊥BM，交AC的延長線與點F，連接MF，利用SAS證出△ABM≌△CBF，從而得到AM=CF，BM=BF，∠AMB=∠CFB，根據等邊對等角可得∠BMF=∠BFM，然后證出∠FMN=∠MFN，再根據等角對等邊可得MN=NF，即可得出結論．

解：（1）∵

∴

∵

∴

解得：a=-2，b=2

∴點A的坐標為，點C的坐標為；

（2）過點A作AE∥y軸，過點B作BE⊥AE，作BD⊥x軸，如下圖所示

設點B的坐標為（x，y）

∴BD=y，OD=x

∴CD=4－x，BE=x－（-2）=x＋2，AE=y－2

∵BD⊥x軸

∴BD∥y軸

∴AE∥BD

∴∠DBE=180°－∠AEB=90°

∴∠EBA＋∠ABD=90°

∵等腰直角三角形中，，

∴∠DBC＋∠ABD=90°

∴∠EBA=∠DBC

在△EBA和△DBC中

∴△EBA≌△DBC

∴BE=BD，AE=CD

即x＋2= y，y－2=4－x

解得：x=2，y=4

∴點B的坐標為（2,4）；

（3）MN= CN＋AM，理由如下

過點B作BF⊥BM，交AC的延長線與點F，連接MF

∴∠MBC＋∠CBF=90°

∵△ABC為等腰三角形

∴BA=BC，∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°

∴∠MBC＋∠ABM=90°，∠BCF=180°－∠BCA=135°，∠BAM=∠MAC＋∠BAC=135°

∴∠ABM =∠CBF，∠BAM=∠BCF

在△ABM和△CBF中

∴△ABM≌△CBF

∴AM=CF，BM=BF，∠AMB=∠CFB

∴∠BMF=∠BFM，

∵

∴∠NMB=∠CFB

∴∠BMF－∠NMB=∠BFM－∠CFB

∴∠FMN=∠MFN

∴MN=NF

∵NF=CN＋CF

∴MN=CN＋AM