Question

【題目】觀察下列等式：

12×231＝132×21，

13×341＝143×31

23×352＝253×32，

34×473＝374×43，

62×286＝682×26，

……

以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同規律，我們稱這類等式為“數字對稱等式”

（1）根據上述各式反映的規律填空，使式子稱為“數字對稱等式”：

①52×　 　＝　 　×25

②　 　×396＝693×　 　；

（2）設這類等式左邊兩位數的十位數字為a，個位數字為b，且2≤a+b≤9，寫出表示“數字對稱等式”一般規律的式子（含a，b），并證明；

（3）若（2）中a，b表示一個兩位數，例如a＝11，b＝22，則1122×223311＝113322×2211，請寫出表示這類“數字對稱等式”一般規律的式子（含a，b），并寫出a+b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①275，572；②63，36；（2）（10a+b）[100b+10（a+b）+a]＝[100a+10（a+b）+b]（10b+a），證明見解析；（3）22≤a+b≤99

【解析】

（1）觀察幾行等式發現規律，根據規律求解即可；

（2）根據兩位數的個位數字、十位數字、個位數與十位數之和分別是三位數的百位上的數、個位上的數、十位上的數，即可寫出等式；

（3）通過觀察可知，、都是個位與十位數字相等的兩位數，且，則，由此規律寫出只含、的規律的式子，再由得的取值范圍．

解：（1）觀察可知：若兩位數的個位數字、十位數字、個位數與十位數之和分別是三位數的百位上的數字、個位上的數字、十位上的數字，這樣的兩位數與三位數的積，則等于這個三位數與兩位數各自交換個位數字與十位數字所得的三位數與兩位數的積，

∴①

②．

故答案為：①、；②、．

（2）

驗證：等式左邊

等式右邊

左邊＝右邊．

答：表示“數字對稱等式”一般規律的式子為：；

（3）規律：若，，（m、n均為1至8的自然數），且，則．的取值范圍為：．