Question

【題目】如圖，在半圓中，點是圓心，是直徑，點是的中點，過點作的垂線，交的延長線于點。

（1）求證：是半圓的切線；

（2）若，求的長。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，由C為弧AD的中點，可得∠ABC=∠CBD，又知∠OCB=∠OBC，即證得∠OCB=∠CBE，進而證明出OC∥BE，最后即可證明出CE是⊙O的切線；

（2）求出半徑和∠AOC=60°，由弧長公式計算即可．

（1）證明：如圖，連接OC，

∵點C是中點

∴

∴∠ABC=∠CBD

∵OB=OC

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OCB=∠CBD

∴OC∥BD，且CE⊥BE

∴CE⊥OC，且OC是半徑，

∴CE是半圓O的切線．

（2）∵∠ABC=30°，且∠OCB=∠ABC，

∴∠OCB=∠ABC=30°

∴∠AOC=60°

∵AB=4

∴OA=2

∴的長=.