Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作等腰直角．．當(dāng)點(diǎn)落在某函數(shù)的圖象上時(shí)，稱點(diǎn)為該函數(shù)的“懸垂點(diǎn)”，為該函數(shù)的“懸垂等腰直角三角形”．

（1）若點(diǎn)是函數(shù)的懸垂點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________．

（2）若反比例函數(shù)的懸垂等腰直角三角形面積是，求的值．

（3）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的懸垂點(diǎn)只有一個(gè)，求的取值范圍．

（4）若函數(shù)的懸垂等腰直角的面積范圍為，且點(diǎn)在第一象限，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）6或2；（3）；（4）1≤a≤2或4≤a≤5．

【解析】

（1）設(shè)C（m,m+3）,根據(jù)“懸垂等腰直角三角形”的定義可知∠CAB＝45°,求出直線CA的解析式,C點(diǎn)即函數(shù)的圖象與直線CA的交點(diǎn),列方程求解即可;

（2）先根據(jù)“懸垂等腰直角三角形”定義及懸垂等腰直角三角形面積是2,求得點(diǎn)C的坐標(biāo),再根據(jù)反比例函數(shù)概念求k的值;

（3）設(shè)點(diǎn)C（m，m﹣1）,根據(jù)“懸垂等腰直角三角形”定義可列方程m2﹣5m+7＝m﹣1,求解后再根據(jù)“該函數(shù)的懸垂點(diǎn)只有一個(gè)”即可求得結(jié)論;

（4）根據(jù)“點(diǎn)C在第一象限,2≤S△ABC≤”,可得2≤AB≤3,進(jìn)而得到,3≤m≤4,再由“懸垂等腰直角三角形”定義可得,m2﹣2am+a2+a﹣3＝m﹣1,解得：a1＝m﹣2或a2＝m+1,即可得到結(jié)論．

解:以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作等腰直角△ABC,點(diǎn)A（1,0）,即直線AC與x軸成45°角,與y＝x或y＝﹣x平行,

∴直線CA的解析式為:y＝x﹣1或y＝﹣x+1,

（1）當(dāng)直線CA的解析式為y＝x﹣1時(shí),

,

解得:;

即C點(diǎn)為（8,7）,

當(dāng)直線CA的解析式為y＝﹣x+1時(shí),

,

解得: ;

即C點(diǎn)為（ , ）,

故答案為:8或；

（2）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為m﹣1,

∵S△ABC＝（m﹣1）2＝2,

∴m1＝﹣1,m2＝3,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1,﹣2）或（3,2）,

∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上,

∴k＝2或k＝6;

（3）設(shè)點(diǎn)C（m,m﹣1）,

∵點(diǎn)C在函數(shù)y＝x2﹣5x+7的圖象上,

∴m2﹣5m+7＝m﹣1,

解得:m1＝2,m2＝4,

∵當(dāng)1≤x≤n（n＞1）時(shí),該函數(shù)的懸垂點(diǎn)只有一個(gè),

∴2≤n＜4．

（4）∵點(diǎn)C在第一象限,2≤S△ABC≤，

∴2≤AB≤3,

∵點(diǎn)A（1,0）,

∴3≤m≤4,

∵m2﹣2am+a2+a﹣3＝m﹣1,

∴a1＝m﹣2或a2＝m+1,

當(dāng)a＝m﹣2時(shí),可得1≤a≤2,

當(dāng)a＝m+1時(shí),可得4≤a≤5,

綜上所述,a的取值范圍為:1≤a≤2或4≤a≤5．