Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

（3）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，當△ACM的周長最小時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2，頂點D的坐標為（，﹣）；（2）△ABC是直角三角形，理由詳見解析；（3）M（，﹣）．

【解析】試題分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式，根據配方法，可得頂點坐標；
（2）根據勾股定理的逆定理，可得答案；
（3）根據軸對稱的性質，兩點之間線段最短，可得M點是對稱軸與BC的交點，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

試題解析：(1)∵點A(1,0)在拋物線上，

∴

解得

∴拋物線的解析式為

∵

∴頂點D的坐標為

(2)△ABC是直角三角形，理由如下：

當x=0時，y=2，

∴C(0,2)，則OC=2.

當y=0時,

∴ 則B(4,0)，

∴OA=1，OB=4，

∴AB=5.

∴

∴△ABC是直角三角形；

(3)由題意A.B兩點關于對稱軸對稱，故直線BC與對稱軸的交點即為點M.

由B(4,0),C(0,2)

設直線BC:y=kx2

4k2=0，

所以直線

當時,

所以