Question

【題目】如圖1，拋物線y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左邊），與y軸交于點(diǎn)C．連接AC、BC，D為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（D在B、C兩點(diǎn)之間），OD交BC于E點(diǎn)．

（1）若△ABC的面積為8，求m的值；

（2）在（1）的條件下，求的最大值；

（3）如圖2，直線y＝kx+b與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（M不與A重合，M在N左邊），連MA，作NH⊥x軸于H，過(guò)點(diǎn)H作HP∥MA交y軸于點(diǎn)P，PH交MN于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)m=2;(2);(3) Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.

【解析】

（1）解方程x2＋（m－2）x一2m=0求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，再令x=0，求出拋物線與y軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)△ABC的面積為8，列方程求解即可；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DF∥y軸交BC于F，求出點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，表示出DF的長(zhǎng)，利用平行線分線段成比例定理列出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)論；

（3）設(shè)M(x1，kx1＋b)、N(x2，kx2＋b)，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)關(guān)系式，整理可得x1＋x2＝2＋k－m，x1x2＝－2m－b. 過(guò)點(diǎn)M作MK⊥x軸于K，過(guò)點(diǎn)Q作QL⊥x軸于L，由△MKA∽△QLH，列比利式整理可得(km－b)(n－2)＝0，然后分兩種情況討論可得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．

(1) y＝x2＋(m－2)x－2m＝(x＋m)(x－2)，

令y＝0，則(x＋m)(x－2)＝0，解得x1＝－m，x2＝2，

∴A(－m，0)、B(2，0)，

令x＝0，則y＝－2m，

∴C(0，－2m)，

∴AB＝2＋m，OC＝2m.

∵S△ABC＝×(2＋m)×2m＝8，

解得m1＝2，m2＝－4，

∵m＞0，

∴m＝2；

(2) 過(guò)點(diǎn)D作DF∥y軸交BC于F，

由(1)可知：m＝2，

∴拋物線的解析式為y＝x2－4，

∴B(2，0)、C(0，－4)，

∴直線BC的解析式為y＝2x－4.

設(shè)D(t，t2－4)，則F(t，2t－4)，

∴DF＝2t－4－(t2－4)＝－t2＋2t，OC＝4，

∵DF∥y軸，

∴＝＝＝－(t－1)2＋，

當(dāng)t＝1時(shí)，有最大值為，此時(shí)D(1，3)；

(3) 設(shè)M(x1，kx1＋b)、N(x2，kx2＋b)，

聯(lián)立，整理得x2＋(m－2－k)x－2m－b＝0，

∴x1＋x2＝2＋k－m，x1x2＝－2m－b，

設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為n，則Q(n，kn＋b)，

過(guò)點(diǎn)M作MK⊥x軸于K，過(guò)點(diǎn)Q作QL⊥x軸于L，

∵MA∥PH，

∴△MKA∽△QLH，

∴＝，

即，整理得kx1x2＋b(x1＋x2)＋kmn＋bm－bn＝0，

∴k(－2m－b)＋b(2＋k－m)＋kmn＋bm－bn＝0，

∴(km－b)(n－2)＝0，

②km－b＝0，此時(shí)直線為y＝k(x＋m)，過(guò)點(diǎn)A(－m，0)，不符合題意，

②當(dāng)n－2＝0，此時(shí)n＝2，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.