Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊AB在x軸上，且OA＞OB，以AB為直徑的圓過點C．若點C的坐標為（0，2），AB=5，A，B兩點的橫坐標x_A，x_B是關于x的方程x²-（m+2）x+n-1=0的兩根．
（1）求m，n的值；
（2）若∠ACB平分線所在的直線l交x軸于點D，試求直線l對應的一次函數解析式；
（3）過點D任作一直線l′分別交射線CA，CB（點C除外）于點M，N．則

1

CM

+

1

CN

的是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形的性質可知△AOC∽△COB，則CO²=AO•BO，4=AO•（5-AO），解之得：AO=4或AO=1．
即x_A=-4，x_B=1．再利用根與系數的關系代入兩根和與兩根之積的關系式中求解可知m=-5，n=-3．
（2）過點D作DE∥BC，交AC于點E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，可證明△AED∽△ACB，利用成比例線段求得OD=

2

3

，即D（-

2

3

，0），利用待定系數法求出直線l對應的一次函數解析式為：y=3x+2．
（3）過點D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．因為CD為∠ACB的平分線，所以DE=DF．由△MDE∽△MNC，有

DE

CN

=

MD

MN

，由△DNF∽△MNC，有

DF

CM

=

DN

MN

，得到

DE

CN

+

DF

CM

=

MD

MN

+

DN

MN

=1，即

1

CM

+

1

CN

=

1

DE

=

3 5

10

．

解答：解：（1）∵以AB為直徑的圓過點C，∴∠ACB=90°，而點C的坐標為（0，2），
由CO⊥AB易知△AOC∽△COB，∴CO²=AO•BO，（1分）
即：4=AO•（5-AO），解之得：AO=4或AO=1．
∵OA＞OB，∴AO=4，
即x_A=-4，x_B=1．（2分）
由根與系數關系有：

xA+xB=m+2 xA•xB=n-1

，
解之m=-5，n=-3．（4分）

（2）如圖，過點D作DE∥BC，交AC于點E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，
在△ABC中，易得AC=2

5

，BC=

5

，（5分）
∵DE∥BC，∴

AD

DB

=

AE

EC

，∵DE=EC，∴

AD

BD

=

AE

DE

，
又△AED∽△ACB，有

AE

ED

=

AC

BC

，∴

AD

DB

=

AC

BC

=2，（6分）
∵AB=5，設BD=x，則AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x=

5

3

，
則OD=

2

3

，即D（-

2

3

，0），（7分）
易求得直線l對應的一次函數解析式為：y=3x+2．（8分）
解法二：過D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F，
由S_△ACD+S_△BCD=S_△ABC′
求得DE=

2

3

5

．（5分）
又S_△BCD=

1

2

BD•CO=

1

2

BC•DF，
求得BD=

5

3

，DO=

2

3

．（7分）
即D（-

2

3

，0），
易求得直線l對應的一次函數解析式為：y=3x+2．（8分）

（3）過點D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．
∵CD為∠ACB的平分線，∴DE=DF．
由△MDE∽△MNC，有

DE

CN

=

MD

MN

，（9分）
由△DNF∽△MNC，有

DF

CM

=

DN

MN

． （10分）
∴

DE

CN

+

DF

CM

=

MD

MN

+

DN

MN

=1，（11分）
即

1

CM

+

1

CN

=

1

DE

=

3 5

10

．（12分）

點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活地運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．