Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，點P從B點出發，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運動至A點停止，則從運動開始經過多少時間，△BEP為等腰三角形？

Answer 1

（1）△ABC≌△CDA，
∴AD=BC，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形
（2）從運動開始經過2s或s或s或s時，△BEP為等腰三角形

試題分析：（1）證明：∵在△ABC和△CDA中

∴△ABC≌△CDA，
∴AD=BC，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
（2）解：∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′
由勾股定理得：AC=4cm，
即AB、CD間的最短距離是4cm，
∵AB=3cm，AE=AB，
∴AE=1cm，BE=2cm，
設經過ts時，△BEP是等腰三角形，
當P在BC上時，
①BP=EB=2cm，
t=2時，△BEP是等腰三角形；
②BP=PE，
作PM⊥AB于M，
∴BM=ME=BE=1cm
∵cos∠ABC===，
∴BP=cm，
t=時，△BEP是等腰三角形；
③BE=PE=2cm，
作EN⊥BC于N，則BP=2BN，
∴cosB==，
∴=，
BN=cm，
∴BP=，
∴t=時，△BEP是等腰三角形；
當P在CD上不能得出等腰三角形，
∵AB、CD間的最短距離是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，
當P在AD上時，只能BE=EP=2cm，
過P作PQ⊥BA于Q，
∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠QAD=∠ABC，
∵∠BAC=∠Q=90°，
∴△QAP∽△ABC，
∴PQ：AQ：AP=4：3：5，
設PQ=4xcm，AQ=3xcm，
在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）²+（4x）²=2²，
∴x=，
AP=5x=cm，
∴t=5+5+3﹣=，
答：從運動開始經過2s或s或s或s時，△BEP為等腰三角形．

點評：本題主要考查對平行四邊形的性質和判定，相似三角形的性質和判定．全等三角形的性質和判定，勾股定理，等腰三角形的性質，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．