Question

【題目】已知拋物線：y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m為常數，且a≠0）．

（1）求證：不論a與m為何值，該拋物線與x軸總有兩個公共點；

（2）設該拋物線與x軸相交于A、B兩點，則線段AB的長度是否與a、m的大小有關系？若無關系，求出它的長度；若有關系，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點為C，當△ABC的面積等于1時，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1；（3）±8

【解析】（1）通過提公因式法，對函數的解析式變形，然后構成方程求解出交點的坐標即可；

（2）根據第一問的交點坐標得到AB的長，判斷出AB的長與a、m無關；

（3）通過配方法得到函數的頂點式，然后根據三角形的面積公式求解即可.

（1）由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－m)( x－m－1)，得拋物線與x軸的交點坐標為(m,0)和(m＋1,0)．因此不論a與m為何值，該拋物線與x軸總有兩個公共點．（也可用判別式Δ做）

（2）線段AB的長度與a、m的大小無關。由（1）知：A、B兩點坐標分別為(m,0)、(m＋1,0)，因此AB的長度是1。

（3）由y＝a(x－m)2－a(x－m)=，得拋物線的頂點為，

因為AB＝1，S△ABC＝，a＝±8．