Question

【題目】（背景知識）

數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美結合．研究數軸我們發現有許多重要的規律:

例如，若數軸上點、點表示的數分別為、，則、兩點之間的距離，線段的中點表示的數為．

（問題情境）

在數軸上，點表示的數為-20，點表示的數為10，動點從點出發沿數軸正方向運動，同時，動點也從點出發沿數軸負方向運動，已知運動到4秒鐘時，、兩點相遇，且動點、運動的速度之比是（速度單位:單位長度/秒）．

備用圖

（綜合運用）

（1）點的運動速度為______單位長度/秒，點的運動速度為______單位長度/秒；

（2）當時，求運動時間；

（3）若點、在相遇后繼續以原來的速度在數軸上運動，但運動的方向不限，我們發現:隨著動點、的運動，線段的中點也隨著運動．問點能否與原點重合？若能，求出從、相遇起經過的運動時間，并直接寫出點的運動方向和運動速度；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）動點P運動的速度為4.5單位長度/秒，動點Q運動的速度為3單位長度/秒；（2）運動時間為或秒；（3）點M能與原點重合，它沿數軸正方向運動，運動速度為或沿數軸正方向運動，運動速度為，理由見解析

【解析】

（1）設動點P運動的速度分別為3x單位長度/秒，Q運動的速度分別為2x單位長度/秒．根據“運動到4秒鐘時，P、Q兩點相遇”列方程，求解即可；

（2）設運動時間為t秒．點P表示的數為－20＋4.5t，點Q表示的數為10－3t，根據“PQ=AB”，列方程，求解即可；

（3）先求出P、Q相遇點表示的數，設從P、Q相遇起經過的運動時間為t秒時，PQ的中點M與原點重合，求出P、Q此時表示的數．然后分四種情況列方程，求解即可．

（1）設動點P運動的速度分別為3x單位長度/秒，Q運動的速度分別為2x單位長度/秒．根據題意得：

4×3x＋4×2x=30，（或－20＋4×3x=10－4×2x）

解得：x=1.5．

3x=4.5（單位長度/秒），2x=3（單位長度/秒）．

答：動點P運動的速度為4.5單位長度/秒，動點Q運動的速度為3單位長度/秒．

（2）設運動時間為t秒．

由題意知：點P表示的數為－20＋4.5t，點Q表示的數為10－3t，根據題意得：

|（－20＋4.5t）－（10－3t）|=×|（－20）－10|

整理得：|7.5t－30|=10

7．5t－30=10或7.5t－30=－10

解得：t=或t=．

答：運動時間為或秒．

（3）P、Q相遇點表示的數為－20＋4×4.5=－2（注：當P、Q兩點重合時，線段PQ的中點M也與P、Q兩點重合）

設從P、Q相遇起經過的運動時間為t秒時，點M與原點重合．

①點P、Q均沿數軸正方向運動，則：

解得：t=．

此時點M能與原點重合，它沿數軸正方向運動，運動速度為2÷（單位長度/秒）；

②點P沿數軸正方向運動，點Q沿數軸負方向運動，則：

解得：t=．

此時點M能與原點重合，它沿數軸正方向運動，運動速度為2÷=（單位長度/秒）；

③點P沿數軸負方向運動，點Q沿數軸正方向運動，則：

解得：t=－（舍去）．

此時點M不能與原點重合；

④點P沿數軸負方向運動，點Q沿數軸負方向運動，則：

解得：t=－（舍去）．

此時點M不能與原點重合．

綜上所述：點M能與原點重合，它沿數軸正方向運動，運動速度為或沿數軸正方向運動，運動速度為．