Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．

（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為cm/s時，能夠使△BPD與△CQP全等．

【解析】

（1）經過1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即據SAS可證得△BPD≌△CQP．
（2）可設點Q的運動速度為x（x≠3）cm/s，經過ts △BPD與△CQP全等，則可知PB=3t cm，PC=（8-3t）cm，CQ=xt cm，據（1）同理可得當BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC時兩三角形全等，求x的解即可．

解：（1）經過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm， CQ＝3cm，

∵△ABC中，AB＝AC，

∴在△BPD和△CQP中，

，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．

（2）設點Q的運動速度為x（x≠3）cm/s，經過ts△BPD與△CQP全等；則可知PB＝3t cm，PC＝（8-3t）cm，CQ＝xt cm，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

根據全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：

①當BD＝PC，BP＝CQ時，②當BD＝CQ，BP＝PC時，兩三角形全等；

①當BD＝PC且BP＝CQ時，

8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，

∵x≠3，

∴舍去此情況；

②BD＝CQ，BP＝PC時，

5＝xt且3t＝8﹣3t，

解得：x＝；

故若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為cm/s時，能夠使△BPD與△CQP全等．