Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一個動點（F不與A，B重合），過點F的反比例函數y＝（x＞0）的圖象與BC邊交于點E．

（1）當F為AB的中點時，求該反比例函數的解析式和點E的坐標．

（2）設過（1）中的直線EF的解析式為y＝ax+b，直接寫出不等式ax+b＜的解集．

（3）當k為何值時，△AEF的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝，E點坐標為（，2）；（2）0＜x＜或x＞3；（3）當k的值為3時，△AEF的面積最大，最大面積為．

【解析】

（1）由條件可求得F點坐標為（3，1），代入函數解析式可求得k，可求得反比例函數解析式，再令y=2代入可求得x的值，可求得E點坐標；
（2）由（1）的條件中E、F的坐標，結合函數圖象可求得答案；
（3）可用k分別表示出點E、F的坐標，從而可表示出△AEF的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值．

（1）∵四邊形OABC為矩形，OA＝3，OC＝2，

∴AB＝2，BC＝3，

∵F為AB的中點，

∴點F坐標為（3，1），

∵點F在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，

∴k＝3×1＝3，

∴反比例函數解析式為y＝，

∵點E在BC上，

∴E點縱坐標為2，

在y＝中，令y＝2，可求x＝，

∴E點坐標為（，2）；

（2）不等式ax+b＜的解集即直線在反比例函數下方時對應的自變量的取值范圍，

由（1）可知點E、F兩點的橫坐標分別為、3，

∴不等式ax+b＜的解集為：0＜x＜或x＞3；

（3）由題意可知點E的縱坐標為為2，點F的橫坐標為3，且E、F在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，

∴可設E（，2），F（3，），

∴AF＝，CE＝，

∴BE＝BC﹣CE＝3﹣，

∴S△AEF＝AFBE＝（3﹣）＝﹣k2+＝﹣（k﹣3）2+，

∵﹣＜0，

∴S△AEF是關于k的開口向下的拋物線，

∴當k＝3時，S△AEF有最大值，最大值為，

即當k的值為3時，△AEF的面積最大，最大面積為．