Question

【題目】如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若PD=cm，AC=8cm，求圖中陰影部分的面積；

（3）在（2）的條件下，若點E是弧AB的中點，連接CE，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）陰影部分的面積為；

（3）CE的長是

【解析】（1）連接OC，證明△PAO≌△PCO，得到∠PAO=∠PCO=90 ，證明結論；

（2）證明△ADO∽△PDA，得到成比例線段求出BC的長，根據S陰=S半⊙O－S△ACB求出答案；

（3）連接AE，BE，過點B作BM⊥CE于點M，分別求出CM和EM的長，求和得到答案．

證明： ⑴如圖，連接OC，

∵PA切⊙O于A．

∴∠PAO=90．

∵OP∥BC，

∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB．

∵OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠AOP=∠COP．

又∵OA=OC，OP=OP，

∴△PAO≌△PCO (SAS)．

∴∠PAO=∠PCO=90 ，

又∵OC是⊙O的半徑，

∴PC是⊙O的切線．

⑵解法一：

由（1）得PA，PC都為圓的切線，

∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90 ，

∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，

∴∠PAD =∠AOD，

∴△ADO∽△PDA．

∴，

∴，

∵AC=8， PD=，

∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，

由題意知OD為△ABC的中位線，

∴BC=2OD=6，AB=10．

∴S陰=S半⊙O－S△ACB=．

答：陰影部分的面積為．

解法二：

∵AB是⊙O的直徑，OP∥BC，

∴∠PDC=∠ACB=90．

∵∠PCO=90 ，

∴∠PCD+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90 ，

即∠PCD=∠OCB．

又∵∠OBC =∠OCB，

∴∠PCD=∠OBC，

∴△PDC∽△ACB，

∴．

又∵AC=8， PD=，

∴AD=DC=4，PC=．

∴，

∴CB=6，AB=10，

∴S陰=S半⊙O-S△ACB=．

答：陰影部分的面積為．

（3）如圖，連接AE，BE，過點B作BM⊥CE于點M．

∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90，

又∵點E是的中點，

∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45，CM=MB =，BE=ABcos45=，

∴ EM=，

∴CE=CM+EM=．

“點睛”本題考查的是切線的判定和性質、扇形面積的計算和相似三角形的判定和性質，靈活運用切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑和切線的判定是解題的關鍵．