Question

【題目】拋物線的頂點為，與軸的一個交點在點和之間，其部分圖象如圖所示，則以下結論：①；②；③；④方程以有兩個的實根，其中正確的個數為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

拋物線開口向上a>0，對稱軸在y軸左側，b>0，拋物線和y軸負半軸相交，c<0，則abc<0，由拋物線與x軸有兩個交點得到b2-4ac>0；有拋物線頂點坐標得到拋物線的對稱軸為直線x=-1，則根據拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點在點（-3，0）和（-2，0）之間，所以當x=1時，y>0，則a+b+c>0；由拋物線的頂點為D（-1，-3）得a-b+c=-3，由拋物線的對稱軸為直線得b=2a，所以a-c=3；根據二次函數的最值問題，當x=-1時，二次函數有最小值為-3，即b2-4ac=-12a，b2-4a（c+3）=b2-4ac-12a=-24a，所以說方程ax2+bx+c+3=0無實數根．

∵拋物線開口向上，

∴a>0，

∵對稱軸在y軸左側，

∴b>0，

∵拋物線和y軸負半軸相交，

∴c<0，

∴abc<0，故①錯誤；

∵當x=1時，y>0，

∴y=a+b+c>0，故②錯誤；

∵拋物線的頂點為D(1,3)

∴ab+c=3，

∵拋物線的對稱軸為直線得b=2a，

把b=2a代入ab+c=3，得a2a+c=3，

∴ca=3，

∴ac=3，故③正確；

∵二次函數y=ax2+bx+c有最小值為3，

∴b24ac=12a，

∴方程ax2+bx+c+3=0的判別式△=b24a(c+3)=b24ac12a=0，

∴方程ax2+bx+c+3=0有兩個相等的實數根，故④正確；

故選：B.