Question

（2011•恩施州）知識背景：恩施來鳳有一處野生古楊梅群落，其野生楊梅是一種具特殊價值的綠色食品．在當地市場出售時，基地要求“楊梅”用雙層上蓋的長方體紙箱封裝（上蓋紙板面積剛好等于底面面積的2倍，如圖）
（1）實際運用：如果要求紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6），體積為0.3立方米．
①按方案1（如圖）做一個紙箱，需要矩形硬紙板A₁B₁C₁D₁的面積是多少平方米？
②小明認為，如果從節省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A₂B₂C₂D₂做一個紙箱比方案1更優，你認為呢？請說明理由．
（2）拓展思維：北方一家水果商打算在基地購進一批“野生楊梅”，但他感覺（1）中的紙箱體積太大，搬運吃力，要求將紙箱的底面周長、底面面積和高都設計為原來的一半，你認為水果商的要求能辦到嗎？請利用函數圖象驗證．

Answer 1

解：（1）①∵紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6），體積為0.3立方米，
∴假設底面長為x，寬就為0.6x，
∴體積為：0.6x•x•0.5=0.3，
解得：x=1，
∴AD=1，CD=0.6，
DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，
WQ=MK=AD=，
∴QM=+0.5+1+0.5+=3，
FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，
∴矩形硬紙板A₁B₁C₁D₁的面積是3×2.2=6.6平方米；
②從節省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A₂B₂C₂D₂做一個紙箱比方案1更優，
∵如圖可知△MAE，△NBG，△HCF，△FDQ面積相等，且和為2個矩形FDQD₁，
又∵菱形的性質得出，對角線乘積的一半絕對小于矩形邊長乘積；
∴從節省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A₂B₂C₂D₂做一個紙箱比方案1更優，
（2）∵將紙箱的底面周長、底面面積和高都設計為原來的一半時，
∴邊長為：0.5，0.3，底面積將變為：0.3×0.5=0.15，將變為原來的，高再變為原來的一半時，體積將變為原來的，
∴水果商的要求不能辦到．

略