Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C

（1）求點A、B的坐標；

（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；

（3）若直線l過點E（4，0），M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣4，0）、B（2，0）；（2）D點坐標為：D1（﹣1，），D2（﹣1，）；（3）直線l的解析式為y=x+3或y=x﹣3．

【解析】

解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2．

∵點A在點B的左側，∴A、B點的坐標為A（﹣4，0）、B（2，0）．

（2）由得，對稱軸為x=﹣1．

在中，令x=0，得y=3．

∴OC=3，AB=6，．

在Rt△AOC中，．

設△ACD中AC邊上的高為h，則有ACh=9，解得h=．

如圖1，在坐標平面內作直線平行于AC，且到AC的距離=h=，這樣的直線有2條，分別是L1和L2，則直線與對稱軸x=﹣1的兩個交點即為所求的點D．

設L1交y軸于E，過C作CF⊥L1于F，則CF=h=，

∴．

設直線AC的解析式為y=kx+b，

將A（﹣4，0），B（0，3）坐標代入，得

，解得．

∴直線AC解析式為．

直線L1可以看做直線AC向下平移CE長度單位（個長度單位）而形成的，

∴直線L1的解析式為．

則D1的縱坐標為．∴D1（﹣1，）．

同理，直線AC向上平移個長度單位得到L2，可求得D2（﹣1，）．

綜上所述，D點坐標為：D1（﹣1，），D2（﹣1，）．

（3）如圖2，以AB為直徑作⊙F，圓心為F．過E點作⊙F的切線，這樣的切線有2條．

連接FM，過M作MN⊥x軸于點N．

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半徑FM=FB=3．

又FE=5，則在Rt△MEF中，ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=．

在Rt△FMN中，MN=MFsin∠MFE=3×，FN=MFcos∠MFE=3×．

則ON=．

∴M點坐標為（，）．

直線l過M（，），E（4，0），

設直線l的解析式為y=k1x+b1，則有，解得．

∴直線l的解析式為y=x+3．

同理，可以求得另一條切線的解析式為y=x﹣3．

綜上所述，直線l的解析式為y=x+3或y=x﹣3．