Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點F，過點C作CE∥AB，且∠CAD＝∠CAE．

（1）求證：AE是⊙O的切線；

（2）若AB＝8，AC＝6，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）利用平行線的性質，圓的性質和等腰三角形的性質，證明△AEC和△ADC全等即可得到結論；，

（2）設AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，利用勾股定理列出關于x和y的等式，即可求出AE的長．

（1）證明：∵AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∵CE∥AB，

∴∠BAC＝∠ACE，

∴∠ACB＝∠ACE，

∴∠CAD＝∠CAE，

∵AC＝AC，

∴△ADC≌△AEC（ASA），

∴∠ADC＝∠E，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴∠E＝90°，

∵AB∥CE，

∴∠BAE+∠E＝180°，

∴∠BAE＝90°，

∴AE是⊙O的切線；

（2）解：設AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，

則BD＝（8﹣y），

∵△AEC和△ADB為直角三角形，

∴AE2+CE2＝AC2，AD2+BD2＝AB2，

AB＝8，AC＝6，AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，BD＝（8﹣y）代入，

∴x2+y2＝62，x2+（8﹣y）2＝82，

解得：y＝，

即CE的長為．