Question

【題目】已知：AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使AB＝AC，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為 E．

（1）求證：DC＝BD；

（2）求證：DE為⊙O的切線；

（3）若AB＝12，AD＝6，連接OD，求扇形BOD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）6π

【解析】

（1）連接AD，根據圓周角定理得到∠ADB＝90°，然后由三線合一可得結論；

（2）連接OD，證明OD∥AC，得到∠ODE＝90°即可；

（3）根據三角函數的定義得到sinB＝＝＝，求得∠B＝60°，得到∠BOD＝60°，根據扇形的面積公式即可得到結論．

證明：（1）連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

又∵AB＝AC，

∴DC＝BD；

（2）連接OD，

∵OA＝OB，CD＝BD，

∴OD∥AC，

∴∠ODE＝∠CED，

又∵DE⊥AC，

∴∠CED＝90°，

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切線；

（3）∵AB＝12，AD＝6，

∴sinB＝＝＝，

∴∠B＝60°，

∴∠BOD＝60°，

∴S扇形BOD＝＝6π．