Question

等邊三角形ABC的邊AB在直線l上，動點D也在直線l上（不與A，B點重合），△ADE為等邊三角形．
（1）如圖①，當點D在線段BA的延長線上且△ADE與△ABC在直線l的同側時，試猜想線段BE與CD的大小關系為

BE=CD

（2）如圖②，當點D在線段BA上且ADE與ABC在直線l異測時，（1）中的結論是否仍然成立？若不成立，請說明結論發生了怎樣的變化；若成立，說明理由，并求出此時線段BE與CD所在直線的夾角α（0°＜α＜90°）
（3）當點D在線段AB的延長線上且△ADE與△ABC仍然在直線l的異測時，試在圖中畫③出相應的圖形，并直接判斷此時BE與CD的關系（不必說明理由）．

Answer 1

分析：（1）如圖①根據等邊三角形的性質證明△BAE≌△CAD，就可以得出BE=CD；
（2）如圖②根據等邊三角形的性質證明△BAE≌△CAD，就可以得出BE=CD；
（3）如圖③根據等邊三角形的性質證明△BAE≌△CAD，就可以得出BE=CD；

解答：解：（1）BE=CD
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，AD=DE=AE，∠ABC=∠BCA=∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°．
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠DAC AE=AD

，
∴△BAE≌△CAD，
∴BE=CD．
故答案為：BE=CD．
（2）（1）中的結論仍然成立，BE=CD．
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，AD=DE=AE，∠ABC=∠BCA=∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°．
在△BAE和△CAD中，

AE=AD ∠BAE=∠CAD AB=AC

∴△BAE≌△CAD，
∴BE=CD．∠ACD=∠ABE．
延長CD到F交BE于點F，
∴∠BCD+∠DBE=60°，
∴∠BFC=60°．
∴線段BE與CD所在直線的夾角α為60°．
（3）如圖③BE=CD，
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，AD=DE=AE，∠ABC=∠BCA=∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAE=∠DAC=120°．
在△BAE和△CAD中，

AE=AD ∠BAE=∠CAD AB=AC

，
∴∴△BAE≌△CAD，
∴BE=CD．

點評：本題考查了等邊三角形的性質及全能等三角形的判定及性質的運用，在解答過程中合理利用等邊三角形的邊角的性質是解答本題的關鍵．