Question

（2009•無錫二模）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2，AD是BC邊上的高．
（1）在△ABC內部作一個矩形EFGH（如圖①），其中E、H分別在邊AB、AC上，FG在邊BC上．
①設矩形的一邊FG=x，那么EF=______

Answer 1

【答案】分析：（1）①根據等邊三角形的性質及已知可求得BD的長，再根據三角函數不難求得EF的長；
②面積=長×寬，那么就可以表示為關于x的二次函數，得出最值即可．
（2）由②得，FG=1時矩形面積最大，此時，BF=0.5，那么BE=1，那么以B為圓心，BD為半徑畫弧交AB于點E即可．
解答：解：（1）①設FG=x，那么FD=，
∵BC=2，
∴BD=1．
∴BF=1-．
∵∠B=60°，∠EFB=90°，
∴EF=-x．
-x．（2分）

②（6分）
=．（7分）
當x=1時，y有最大值，且最大值為．（8分）

（2）畫法：以B為圓心，BD長為半徑畫弧，交AB于點E，則點E即為所求（10分）
畫圖正確（12分）
點評：此題考查相似三角形的判定，等邊三角形的性質及二次函數的最值等知識點的綜合運用．