Question

【題目】如圖，將邊長為的正三角形紙片按如下順序進行兩次折疊，展開后，得折痕（如圖①），點為其交點.

（1）探求與的數量關系，并說明理由；

（2）如圖②，若分別為上的動點.

①當的長度取得最小值時，求的長度；

②如圖③，若點在線段上，，則的最小值= .

Answer 1

【答案】（1）AO=2OD，理由見解析；（2）①；②.

【解析】

試題分析：（1）根據等邊三角形的性質得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根據直角三角形的性質即可得到結論；

（2）如圖②，作點D關于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時PN+PD的長度取得最小值，根據線段垂直平分線的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等邊三角形，得到BN=BD=，于是得到結論；

（3）如圖③，作Q關于BC的對稱點Q′，作D關于BE的對稱點D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．根據軸對稱的定義得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，解直角三角形即可得到結論．

試題解析：（1）AO=2OD，

理由：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，

∴AO=OB，

∵BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠BDO=90°，

∴OB=2OD，

∴OA=2OD；

（2）如圖②，作點D關于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，

則此時PN+PD的長度取得最小值，

∵BE垂直平分DD′，

∴BD=BD′，

∵∠ABC=60°，

∴△BDD′是等邊三角形，

∴BN=BD=，

∵∠PBN=30°，

∴，

∴PB=；

（3）如圖③，作Q關于BC的對稱點Q′，作D關于BE的對稱點D′，

連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．

根據軸對稱的定義可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，

∴△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，

∴∠D′BQ′=90°，

∴在Rt△D′BQ′中，

D′Q′=．

∴QN+NP+PD的最小值=，