Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，D是⊙O上的一點，且AD∥CO，連結CD
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=2，CD= ，求AD的長．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵AD∥OC，

∴∠1=∠3，∠2=∠4

∵OA=OD

∴∠3=∠4

∴∠1=∠2，

在△OCB與△OCD中.

∴△OCB≌△OCD．（SAS）．

∴∠ODC=∠OBC．

∵BC是⊙O的切線

∴∠OBC=90°．

∴∠ODC=90°．

∴OD⊥CD．

∴CD切⊙O于D；

（2）解：由（1）知：CD、BC是⊙O的切線，

∴BC=CD= ，

在Rt△OCB中，

∵OB= AB=1，

∴OC= ，

由（1）知：∠2=∠4，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°．

∴∠ADB=∠ABC=90°．

∴△OCB∽△ABD，

∴

即 ，

∴ ；

【解析】（1）連接OD，SAS證明△ODC≌△OBC，得出∠CDO=∠CBO=90°，即可得出CD是⊙O的切線；（2）先求出OB，OC的長，再運用△ADB∽△OBC，求出AD的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．