Question

【題目】如圖，△ABC為⊙O的內接三角形，BC為⊙O的直徑，在線段OC上取點D（不與端點重合），作DG⊥BC，分別交AC、圓周于E、F，連接AG，已知AG＝EG．

（1）求證：AG為⊙O的切線；

（2）已知AG＝2，填空：

①當四邊形ABOF是菱形時，∠AEG＝　 　°；

②若OC＝2DC，△AGE為等腰直角三角形，則AB＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①60，②4．

【解析】

（1）連接OA，證明∠OAG=90°，即可證得AG為⊙O的切線；

（2）①連接OA，AF，OF，當四邊形ABOF為菱形，則△AOB為等邊三角形，從而求出∠ACB，∠DEC的度數，根據對頂角相等即可得到∠AEG的度數；

②若△AGE為等腰直角三角形，則可以得出△DEC, △ABC均為等腰三角形，通過證明四邊形AODG是矩形，得到DC=AG，從而得到BC的長度，根據等腰直角三角形的性質，即可求出AB的長．

（1）證明：連接OA．

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵GA＝GE，

∴∠GAE＝∠GEA，

∵DG⊥BC，

∴∠EDC＝90°，

∴∠OCA+∠DEC＝90°，

∵∠CED＝∠GEA＝∠GAE，

∴∠OAC+∠GAE＝90°，

∴∠OAG＝90°，

∴OA⊥AG，

∴AG是⊙O的切線．

（2）①如圖2中，連接OA，AF，OF．

∵四邊形ABOF是菱形，

∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，

∴△ABO是等邊三角形，

∴∠B＝60°，

∵BC是直徑，

∴∠BAC＝90°

∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，

∵ED⊥BC，

∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，

∴∠AEG＝∠DEC＝60°．

故答案為60．

②如圖3中，連接OA．

∵△AGE是等腰直角三角形，

∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°，

∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形，

∵OB＝OC，

∴AO⊥OC，

∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°，

∴四邊形AODG是矩形，

∴AG＝OD＝2，

∴OC＝2OD＝4，

∴BC＝2OC＝8，

∴AB＝AC＝4，

故答案為4．