Question

【題目】問題發現：

（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC＝90°，將線段AC繞點A逆時針旋轉，旋轉角α=2∠BAC， ∠BCD的度數是　　；線段BD，AC之間的數量關系是　　．

類比探究：

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC＝90°，將線段AC繞點A逆時針旋轉，旋轉角α=2∠BAC，請問（1）中的結論還成立嗎？；

拓展延伸：

（3）如圖3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BDC＝90°，若點P滿足PB＝PC，∠BPC＝90°，請直接寫出線段AP的長度．

Answer 1

【答案】（1）120°，BD=AC；（2）不成立，理由詳見解析；（3）或．

【解析】

（1）過點D作DE⊥BC，通過線段之間的轉換得到AC與DE之間的關系，在直角三角形BDE中通過BD與DE的關系，得到BD,AC之間的關系.

（2）類比（1）的解法，找線段之間的關系.

(3)分情況進行討論，畫出符合題意得圖形進行求解.

解：（1）如圖3，過點D作DE⊥BC，垂足為E，設BC=m．

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，由BC=AB·tan30°，BC=AC·sin30°，得AC=2m，BC=m，

∵AC=AD，∠CAD=2×30°=60°，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACD=60°，CD=AC=2m，

∴∠BCD=60°×2=120°，在Rt△DEC中，∠DCE=180°-120°=60°，DC=2m，∴CE=CD·cos60°=m，DE=CE·tan60°=m，∴在Rt△BED中，BD==，

∴==，故BD=AC．故答案為：120°；BD=AC．

（2）不成立，理由如下：

設BC=n，在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=90°，∴BC=AB=m，AC=BC=n，

∵AC=AD，∠CAD=90°，∴△CAD為等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，CD=AC= 2n，

∴∠BCD=2×45°=90°，在Rt△BCD中，BD==，

∴==，，故BD=AC．答案為：90°；BD=AC．故結論不成立．

（3）AP的長為或．；解答如下：

∵PB=PC，∴點P在線段BC的垂直平分線上，∵∠BAC=∠BCP=90°，故A、B、C、P四點共圓，以線段BC的中點為圓心構造⊙O，如圖4，圖5，分類討論如下：

①當點P在直線BC上方時，如圖4，作PM⊥AC，垂足為M，設PM=x．

∵PB=PC，∠BPC=90°，∴△PBC為等腰直角三角形，∴∠PBC=45°，

∵∠PAC=∠PBC=45°，∴△AMP為等腰直角三角形，∴AM=PM=x，AP=PM=x，

在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，∴BC==，∴PC=BC·sin45°=，

在Rt△PMC中，∵∠PMC=90°，PM=x，PC=，CM=4-x，∴，

解得：，（舍），∴AP==；

②當點P在直線BC的下方時，如圖5，作PN⊥AB的延長線，垂足為N，設PN=y．

同上可得PB=，△PAN為等腰三角形，∴AN=PN=y，∴BN=y-2，

在Rt△PNB中，∵∠PNB=90°，PN=y，BN=y-2，PB=，∴，

解得：，（舍），∴AP==．故AP的長度為：或．