Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l平行x軸，交y軸于點A，第一象限內的點B在l上，連結OB，動點P滿足∠APQ=90°，PQ交x軸于點C．

（1）當動點P與點B重合時，若點B的坐標是（2，1），求PA的長．

（2）當動點P在線段OB的延長線上時，若點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，求PA：PC的值．

（3）在（2）的條件下，已知AB=3，OB:BP=3：1，求四邊形AOCP的面積.

Answer 1

【答案】(1)、PA=2；(2)、1:1；(3)、16.

【解析】

試題分析：(1)、根據點P與點B重合，得出PA的長度；(2)、過點P作PM⊥x軸，過點P作PN⊥y軸，根據點A的縱坐標和點B的橫坐標相等得出OA=OB，根據∠OAB=90°可得∠AOB=∠ABO=45°，結合角度之間的關系得出△ANP和△CMP全等得出PA=PC，從而得到比值；(3)、根據∠ANP=∠MON=∠OMP =90°得出四邊形OMPN為矩形，根據PM=PN得出四邊形OMPN為正方形，根據OA=AB=3，得出OB、BP、OP的長度，根據△ANP和△CMP全等得出四邊形的面積.

試題解析：(1)、∵點P與點B重合，點B的坐標是（2，1）， ∴點P的坐標是（2，1）． ∴PA的長為2

(2)、過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，如圖1所示

∵點A的縱坐標與點B的橫坐標相等， ∴OA=AB． ∵∠OAB=90°，

∴∠AOB=∠ABO=45° ∵∠AOC=90°， ∴∠POC=45° ∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，

∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=∠OMP =90° ∴∠NPM=90° ∵∠APC=90° ∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM

在△ANP和△CMP中， ∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP， ∴△ANP≌△CMP．

∴PA=PC． ∴PA：PC的值為1：1

(3)、∵∠ANP=∠MON=∠OMP =90° ∴四邊形OMPN為矩形 ∵PM=PN ∴四邊形OMPN為正方形

∵∠OAB=90°，OA=AB=3 ∴OB= ∵OB:BP=3：1 ∴BP= ∴OP=

∴正方形OMPN= ∵△ANP≌△CMP． ∴S△ANP≌S△CMP． ∴四邊形AOCO=正方形OMPN=16