Question

【題目】如圖，正方形ABCD邊長為6，E是BC的中點，連接AE，以AE為邊在正方形內部作∠EAF=45°，邊交于點，連接，則下列說法中：①；②；③tan∠AFE=3；④.正確的有( )

A.①②③B.②④C.①④D.②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

延長CB到G，使BG=DF，連接AG，證明△ABG≌△ADF，即可證得AG=AF，∠DAF=∠BAG，再證明△AEG≌△AEF，根據全等三角形的對應邊相等即可得出結論．

證明：延長CB到G，使BG=DF，連接AG．如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABE=∠D=90°，

∴∠ABG=90°=∠D，

∵△ABG和△ADF中，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG=AF，∠1=∠2，

又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，

∴∠2+∠3=45°，

∴∠1+∠3=45°，

∴∠GAE=∠EAF=45°．

在△AEG和△AEF中，

∴△AEG≌△AEF（SAS），

∴GE=EF，

∵GE=BG+BE，DF=BG，

∴EF=DF+BF，故②正確，

∵BE=EC=3，AB=6，

，

∴∠3≠30°，故①錯誤，

設DF=x，則EF=x+3，

在Rt△EFC中，∵EF2=CF2+EC2，

∴（x+3）2=32+（6-x）2，

∴x=2，

∴DF=BG=2，

，故③正確，

，故④正確．

故選：D．